Projeté orthogonal d'un point sur une droite du plan

Définition et propriété

Soit   \(d\)   une droite du plan et \(\text A\) un point du plan.
1. Si \(\text A ∈ d\) , alors le projeté orthogonal de \(\text A\) sur \(d\) est  \(\text A\) lui-même.
2. Si \(\text A ∉ d\) , alors le projeté orthogonal de \(\text A\) sur   \(d\)   est le point \(\text H\) de   \(d\)   tel que \((\text A\text H) ⊥ d\) .

Le projeté orthogonal   \(\text H\)   de \(\text A\) sur   \(d\)   est le point de   \(d\)   qui réalise la distance minimale entre \(\text A\) et l’ensemble des points de la droite   \(d\) . Cette distance minimale est appelée distance entre \(\text A\) et   \(d\)   .

Démonstration

Soit \(\text M ∈ d\) et   \(\text H\)   le projeté orthogonal de \(\text A\) sur   \(d\) . Le triangle \(\text A\text H\text M\) est rectangle en   \(\text H\) .
Alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :  \(\text A\text H^2+\text H\text M^2=\text A\text M^2\) .
Or  \(\text H\text M^2\geqslant0\) , donc  \(\text A\text H^2+\text H\text M^2\geqslant \text A\text H^2\) , soit  \(\text A\text M^2 \geqslant \text A\text H^2\) .

Remarque

Soit un triangle \(\text A\text B\text C\) . Soit \(\text H\) le pied de la hauteur du sommet \(\text A\) sur le côté opposé \((\text B\text C)\) .
Alors, le point \(\text H\) est le projeté orthogonal de \(\text A\) sur la droite \((\text B\text C)\) .